Question

9．下列函数中，是奇函数且在（0，1]上单调递减的函数是（　　）

• A． y=-x²+2x
• B． y=x+$\frac{1}{x}$
• C． y=2^x-2^-x
• D． y=1-$\sqrt{x}$

Answer 1

分析 根据奇函数图象的对称性，奇函数的定义，奇函数定义域的特点，以及增函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．y=-x²+2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B.$y=x+\frac{1}{x}$的定义域为{x|x≠0}，且$-x+\frac{1}{-x}=-（x+\frac{1}{x}）$；
∴该函数为奇函数；
$y′=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，x∈（0，1]时，y′≤0；
∴该函数在（0，1]上单调递减，∴该选项正确；
C．y=2^x-2^-x，x增大时，-x减小，2^-x减小，-2^-x增大，且2^x增大，∴y增大；
∴该函数在（0，1]上单调递增，∴该选项错误；
D．y=1-$\sqrt{x}$的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．
故选：B．

点评 考查奇函数的定义，奇函数定义域的特点，奇函数的图象的对称性，以及函数导数符号和函数单调性的关系，增函数的定义．