Question

已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=6．直线l：mx-y+1-m=0（m∈R）
（1）求证：无论m取什么实鼓，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）求出直线经过定点，判断定点在圆内即可；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最小时，定点为圆心在直线上的射影．

解答： 证明：（1）由mx-y+1-m=0得y=mx+1-m=m（x-1）+1，则直线过定点A（1，1），
∵圆心C（-1，2），半径r=

6

，
∴|AC|=

(-1-1)2+(2-1)2

=

4+1

=

5

＜

6

，
则A在圆内，
即无论m取什么实鼓，直线l与圆C恒交于两点；
（2）若直线l被圆C截得的弦长最小，
则此时满足AC⊥l，
则AC的斜率k=

2-1

-1-1

=-

1

2

，
则l的斜率k=2，
即对应的方程为y-1=2（x-1），
即x-y-1=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，以及直线方程的求解，要求熟练直线和圆相交的等价条件．