Question

椭圆E：

x2

16

+

y2

36

=1，过圆C：x²+y²-8x-8y+24=0上一点P（2，2）做圆C的切线l，设l与椭圆E交于A，B两点．求

CA

•

CB

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：过P（2，2）的圆C：x²+y²-8x-8y+24=0的切线l的方程，联立椭圆方程，求出交点A，B的坐标，进而求出向量

CA

，

CB

的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．

解答： 解：过P（2，2）的圆C：x²+y²-8x-8y+24=0的切线l的方程为：2x+2y-8×

2+x

2

-8×

2+y

2

+24=0，即y=-x+4，
代入

x2

16

+

y2

36

=1得：13x²-32x-80=0，
解得：

x=4 y=0

，或

x=- 20 13 y= 72 13

，
又由C（4，4）得：

CA

=（0，-4），

CB

=（-

72

13

，

20

13

）
∴

CA

•

CB

=-

80

13

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，向量的数量积运算，是向量与圆锥曲线的综合应用，难度中档．