Question

已知函数f（x）=4sinxcos（x+

π

3

）+

3

．
（1）当tanα=2时，求f（α）的值；
（2）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由万能公式可得答案；
（2）由x的范围可得2x+

π

3

的范围，进而可得sin（2x+

π

3

）的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=4sinx（cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

=2sinxcosx-2

3

sin²x+

3

=sin2x+

3

cos2x…（2分）
=2sin（2x+

π

3

）…（4分）
∵tanα=2，
∴f（α）=2sin（2α+

π

3

）=sin2α+

3

cos2α=

2tanα

1+tan2α

+

3 (1-tan2α)

1+tan2α

=

4-3 3

5

；…（7分）
（2）因为x∈[-

π

4

，

π

6

]，所以-

π

6

≤2x+

π

3

≤

2π

3

…（9分）
所以-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，所以-1≤f（x）≤2，
当2x+

π

3

=-

π

6

，即x=-

π

4

时，f（x）_min=-1，
当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，f（x）_max=2，…（14分）

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性和值域，属中档题．