如图.在平面平直角坐标系xOy中.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.在顶点为A.过点A作斜率为k的直线l交椭圆C于点D.交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程,(2)已知点P为AD的中点.是否存在定点Q.对于任意的k都有OP⊥EQ?若存在.求出点Q的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在顶点为A（-2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

分析（1）由椭圆的左顶点A（-2，0），则a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，求得D点坐标，利用中点坐标公式即可求得P，由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{EQ}$=0，则向量数量积的坐标运算则（4m+2）k-n=0恒成立，即可求得Q的坐标；
（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M点横坐标为x=±$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，$\frac{丨AD丨+丨AE丨}{丨OM丨}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{D}-{x}_{A}丨+\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{E}-{x}_{A}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{M}丨}$=$\sqrt{4{k}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{2}$，即可求得$\frac{|AD|+|AE|}{|OM|}$的最小值．

解答解：（1）由椭圆的左顶点A（-2，0），则a=2，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由直线l的方程为y=k（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+2）}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+16k²x+16k²-4=0，
由x=-2是方程的根，由韦达定理可知：x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，则x₂=$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，
当x₂=$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，y₂=k（$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$+2）=$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$，
∴D（$\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{4k}{4{k}^{2}+1}$），
由P为AD的中点，
∴P点坐标（$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{2k}{4{k}^{2}+1}$），
直线l的方程为y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k），
假设存在顶点Q（m，n），使得OP⊥EQ，
则$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{EQ}$，即$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{EQ}$=0，
$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{2k}{4{k}^{2}+1}$），$\overrightarrow{EQ}$=（m，n-2k），
∴$\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$×m+$\frac{2k}{4{k}^{2}+1}$×（n-2k）=0
即（4m+2）k-n=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2=0}\\{-n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴顶点Q的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0）；
（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，则M点横坐标为x=±$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，
OM∥l，可知$\frac{丨AD丨+丨AE丨}{丨OM丨}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{D}-{x}_{A}丨+\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{E}-{x}_{A}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}丨{x}_{M}丨}$，
=$\frac{{x}_{D}-2{x}_{A}}{丨{x}_{M}丨}$，
=$\frac{\frac{-8{k}^{2}+2}{4{k}^{2}+1}+4}{\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}}$，
=$\frac{4{k}^{2}+3}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，
=$\sqrt{4{k}^{2}+1}$+$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{4{k}^{2}+1}$=$\frac{2}{\sqrt{4{k}^{2}+1}}$，即k=±$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴当k=±$\frac{1}{2}$时，$\frac{丨AD丨+丨AE丨}{丨OM丨}$的最小值为2$\sqrt{2}$．