Question

11．如图，在多面体A₁C₁D₁-ABCD中，平面A₁C₁D₁∥平面ABCD，AA₁∥DD₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABCD，四边形为矩形，AD=1，DC=2，DD₁=3．
（1）已知$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，且DE⊥A₁C₁，求实数λ的值；
（2）已知H是平面A₁BC₁内的点，求DH的最小值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出实数λ的值．
（2）求出平面A₁BC₁的法向量，DH的最小值即为点D到平面A₁BC₁的距离，由此利用向量法能求出DH的最小值．

解答 解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A₁（1，0，3），C₁（0，2，3），B（1，2，0），
设E（x，y，z），则$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（x-1，y，z-3），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，2，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}=λ\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-λ}\\{y=2λ}\\{z-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1-λ}\\{y=2λ}\\{z=3}\end{array}\right.$，
∴E（1-λ，2λ，3），
∴$\overrightarrow{DE}$=（1-λ，2λ，3），
∵DE⊥A₁C₁，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（1-λ）×（-1）+2λ×2+3×0=0，
解得$λ=\frac{1}{5}$．
（2）$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-2，3），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，3），
设平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-2y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-x+3z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（6，3，2），
DH的最小值即为点D到平面A₁BC₁的距离，
∵$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，3），∴DH的最小值d=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查空间向量在立体几何中的应用，考查运算求解能力、数形结合思想和函数与方程思想，是中档题．