Question

8．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程$\sqrt{2+x}$=x确定出来x=2，类似地不难得到$\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．

解答 解：可以令1+$\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}$=t（t＞0），由1+$\frac{1}{t}$=t解的其值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．