题目内容
（Ⅰ）求函数f（x）=sin（2x+
）的导函数f′（x），并求f′（0）的值．
（Ⅱ）已知a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，求证：
＞
．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）已知a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，求证：
| a3+b3 |
| a2b+ab2 |
考点：不等式的证明,导数的运算
专题：证明题,分析法,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，可求f′（0）的值．
（Ⅱ）利用分析法证明，要证：
＞
，即证：（a-b）2（a+b）＞0，根据a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，即可得证．
（Ⅱ）利用分析法证明，要证：
| a3+b3 |
| a2b+ab2 |
解答：
（I）解：∵f（x）=sin（2x+
），
∴f′（x）=2cos（2x+
），
∴f′（0）=
…（4分）
（II）证明：要证：
＞
，
由a＞0，b＞0，即证：a3+b3＞a2b+ab2，
即证：a3+b3-a2b-ab2＞0，
即证：（a-b）2（a+b）＞0（6分）
∵a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，
∴原不等式成立…（8分）
| π |
| 6 |
∴f′（x）=2cos（2x+
| π |
| 6 |
∴f′（0）=
| 3 |
（II）证明：要证：
| a3+b3 |
| a2b+ab2 |
由a＞0，b＞0，即证：a3+b3＞a2b+ab2，
即证：a3+b3-a2b-ab2＞0，
即证：（a-b）2（a+b）＞0（6分）
∵a，b是不相等的正数，且a＞0，b＞0，
∴原不等式成立…（8分）
点评：本题考查不等式的证明，考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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