Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值；
（2）若将函数f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象，已知g（α）=-

6

5

，α∈（

4π

3

，

11π

6

），求cos（

α

2

-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值；
（2）根据三角函数的图象关系求出g（x）的表达式，利用三角函数的关系式进行求值即可．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x-

1-cos2x

2

+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

时，f（x）的最小值为2×（-

3

2

）=-

3

．
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）的最大值为2×1=2．
（2）若将函数f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）=2sin（x-

π

3

），
由g（α）=2sinx（α-

π

3

）=-

6

5

，
得sinx（α-

π

3

）=-

3

5

，
∵α∈（

4π

3

，

11π

6

），
∴π-α∈（π，

3π

2

），
是cos（α-

π

3

）=-

4

5

，
∵

π

2

＜

α

2

-

π

6

＜

3π

4

，
∴cos（

α

2

-

π

6

）=-

1+cos(α- π 3 ) 2

=-

1- 4 5 2

=-

10

10

．

点评：本题主要考查三角函数的最值的求解，根据倍角公式将函数化简是解决本题的关键，要求熟练三角函数的图象和性质．