Question

已知函数f（x）=

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x³-x²-3x+3a
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导 f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），从而由导数求函数的单调增区间；
（Ⅱ）对任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化为f_min（x）≥0，从而讨论求函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

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x³-x²-3x+3a，
∴f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
故当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（3，+∞）；
（Ⅱ）对任意的x∈[a，3a]（a＞0），f（x）≥0恒成立可化为f_min（x）≥0，
①当3a≤3，即0＜a≤1时，f（x）在[a，3a]上是减函数，
f_min（x）=f（3a）=

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（3a）³-（3a）²-3•3a+3a=3a（3a²-3a-2）≥0；
无解；
②当1＜a＜3时，f（x）在[a，3a]上先减后增，
f_min（x）=f（3）=

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•3³-3²-3•3+3a=-9+3a≥0；
无解；
③当a≥3时，f（x）在[a，3a]上为增函数，
故f_min（x）=f（a）=

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•a³-a²-3•a+3a≥0，
化简得，a≥3．
综上所述，实数a的取值范围为a≥3．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．