Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n=2a_n-2n（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），求数列{

bn

an+2

}的前n项和T_n；
（3）（理科）若12T_n＞m²-5m对所有的n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n=2a_n-2a_n-1-2，由此能证明{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）由已知条件得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用错位相减法能求出T_n．
（3）n=1时，Tn 取最小值T1=

3

2

-

1+3

21+1

=

1

2

，∴依题意有

1

2

＞

1

12

(m2-5m)恒成立，由此能求出m的取值范围．

解答： （1）证明：当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2．
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
当n=2时，a₂=6，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知∴a_n+2=4•2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+1

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）解：∵12T_n＞m²-5m对所有的n∈N^*恒成立，
∴T_n＞

1

12

（m²-5m）对所有的n∈N^*恒成立，
∵n=1时，Tn 取最小值T1=

3

2

-

1+3

21+1

=

1

2

，
∴依题意有

1

2

＞

1

12

(m2-5m)恒成立，
解得-1＜m＜6．
∴m的取值范围是（-1，6）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．