Question

已知函数f（x）满足f（t+2）=f（t-2），当-1＜x≤1时，f（x）=m

1-x2

（m＞0），当1＜x≤3时，f（x）=1-|x-2|．
（1）当m=2时，画出函数y=f（x）在[-1，9]区间上的图象；
（2）若方程3f（x）=x恰有5个实数解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知周期为4，当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），实质上为一个半椭圆，由此根据周期性能作出函数其它部分的图象．
（2）由图知直线y=

x

3

与第二个椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，由此能求出m的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）满足f（t+2）=f（t-2），
∴由已知周期为4．
因为当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+

y2

m2

=1（y≥0），
实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由此得到函数y=f（x）在[-1，9]区间上的图象．
（2）由图知直线y=

x

3

与第二个椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）无公共点时，
方程恰有5个实数解，将y=

x

3

代入（x-4）²+

y2

m2

=1（y≥0）得
（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，
令t=9m²（t＞0），则（t+1）x²-8tx+15t=0，
由△=（8t）²-4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得m＞

15

3

，
同样由y=

x

3

与第二个椭圆（x-8）²+

y2

m2

=1（y≥0），
由△＜0，解得m＜

7

．
综上知m∈（

15

3

，

7

）．

点评：本题考查函数图象的作法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．