Question

15．已知点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点
（1）若|PF₁|=4，N为PF₁的中点，则ON=2$\sqrt{3}$-2．
（2）若PF₁与y轴的交点M恰为PF₁的中点，则M的坐标（0，±$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）作图分析可得ON是△F₁PF₂的中位线，从而解得；
（2）作图分析可得，先求点P的坐标，再求点M的坐标．

解答 解：（1）如图，ON是△F₁PF₂的中位线，
∵|PF₁|=4，|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$，
∴|PF₂|=4$\sqrt{3}$-4，
∴ON=$\frac{1}{2}$（4$\sqrt{3}$-4）=2$\sqrt{3}$-2；
，
（2）如图所示，
，
由$\frac{9}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1解得，P（3，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
故M（0，±$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
故答案为：（1）2$\sqrt{3}$-2，（2）（0，±$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．