Question

20．求下列曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，-6），（0，6），且双曲线过点A（-5，6），求双曲线的标准方程；
（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的定义，结合焦点坐标，求出a，b，即可求双曲线的标准方程；
（2）分类讨论，确定抛物线的焦点，即可求出抛物线的标准方程．

解答 解：（1）由题意c=6，可设F₁（0，-6），F₂（0，6），则$||A{F_1}|-|A{F_2}||=|\sqrt{{{（{-5}）}^2}+{{（{6+6}）}^2}}-\sqrt{{{（{-5}）}^2}+{0^2}}|=8=2a$，…（2分）
∴a=4，b²=c²-a²=20，…（4分）
∴所求的标准方程为$\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{20}=1$．…（6分）
（2）因为焦点在直线3x-4y-12=0，所以焦点坐标为（0，-3）或（4，0）．…（7分）
当焦点（0，-3）时，设抛物线方程为x²=-2py，$\frac{p}{2}=3，p=6$，抛物线方程为x²=-12y，…（9分）
当焦点（4，0）时，设抛物线方程为y²=2px，$\frac{p}{2}=4，p=8$，抛物线方程为y²=16x．…（11分）
所以抛物线方程为y²=16x或x²=-12y．…（12分）

点评 本题考查双曲线、抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．