题目内容
【题目】已知椭圆
的右焦点为
且过点
椭圆C与
轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线
与椭圆C交于不同的两点M、N(点M位于点N的上方).
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△OMN面积的最大值；
(3)求证:直线AN和直线BM交点的纵坐标为常值.
【答案】（1）
（2）
（3）
，证明见解析
【解析】
（1）由题可知
，椭圆过点
所以将点代入可得
，再结合椭圆的关系式即可求解
（2）联立椭圆和直线的方程，表示出韦达定理，再表示出弦长公式，用点到直线距离公式表示出点
到直线距离，进一步化简求值即可
（3）结合（2）中的韦达定理，表示出直线
与直线
方程，再联立求解即可
（1）由题可知，又椭圆过点所以将点
代入椭圆的标准方程可得，结合椭圆的关系式
，可得
，所以椭圆的标准方程为
（2）设
，联立方程组
，
化简得
，由△
，
解得
，由韦达定理，得
，
，
，点到直线距离
，则
,令
，
，则
可代换为
当
时，
取到最大值，
（3）借用（2）中的韦达定理，直线的方程
①
直线的方程
②，联立①②，
得
即
直线与直线的交点
在定直线上．
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