Question

【题目】已知函数在上有最大值和最小值，设（为自然对数的底数）.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

试题(1)配方可得,当时,由函数的单调性可得和的方程组,解方程组可得,当时,,无最大值和最小值,不合题意,故;(2)由(1)得,问题等价于在上有解,求二次函数区间的最值可得;(3)原方程可化为,令，则，由题意知有两个不同的实数解，且其中,解不等式可得.

试题解析：（1），当时，在上是增函数，∴即解得;当时，，无最大值和最小值；当时，在上是减函数，∴即解得∵，∴舍去，综上，的值分别为.

（2）由（1）知，∴在上有解等价于在上有解，即在上有解，令，则，∵，∴，记，∵，∴，∴的取值范围为。

（3）原方程可化为，令，则，由题意知有两个不同的实数解，且其中，记，则得.