Question

【题目】定义在上的奇函数有最小正周期4，且时，

（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；

（2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？

Answer 1

【答案】（1）单调递减，；（2）

【解析】

（1）在区间上单调递减，通过取值、作差、化简、下结论等步骤得函数单调性，由奇函数，易得，通过在上取变量，转化到上，根据得在区间上解析式，再由最小正周期为4，得到和的值，综合即可得到结论；（2）根据条件把问题转化为求函数在上的值域问题即可．

（1）在上为减函数，

证明如下：设，则，，，

∴

∴，∴在上为减函数．

当时，，，

又为奇函数，∴，

当时，由

∵有最小正周期4，∴

综上

（2）周期为4的周期函数，关于方程在上有实数解的的范围即为求函数在上的值域，

当时由（1）知，在上为减函数，∴，

当时，，

当时，，∴的值域为

∴时方程方程在上有实数解