Question

【题目】已知函数，且时有极大值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ）根据在时f(x)有极大值得或，再检验舍去，即得函数f(x)的解析式；（Ⅱ）原命题等价于，记，证明，原命题等价于等价于，记，求出k的最大值.

（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，

所以，从而得或，

时，，此时，当时，，当时，

，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去；

时，，此时，符合题意。

∴所求的 .

（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于

，即，

记，则,

由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，

所以，

对任意正实数恒成立，等价于，

即，

记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.