Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a、b是常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求f（x）的解析式并写出函数的值域；
（2）比较f（0）、f（1）、f（3）的大小；
（3）若x₁＜x₂＜1，比较f（x₁）与f（x₂）的大小．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0可得a，b之间的关系，然后由f（x）=x有两个相等的实数根可得△=0，从而可求a，b，进而可求函数解析式．
（2）代值计算即可比较大小，
（3）通过函数的单调性即可比较大小．

解答 解：（1）方程f（x）=x，即ax²+bx=x，
亦即ax²+（b-1）x=0，
由方程有两个相等的实根，得△=（b-1）²-4a×0=0，
∴b=1．
由f（2）=0，得4a+2b=0，
由①、②得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
故f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x．
∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x²-2x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
∴函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]，
（2）f（0）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，f（3）=-$\frac{9}{2}$+3=-$\frac{3}{2}$，
∴f（3）＜f（0）＜f（1）
（3）∵函数f（x）在（-∞，1）为增函数，
当x₁＜x₂＜1时，有f（x₁）＜f（x₂）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质的应用，函数与方程的思想的相互转化，属于基础题．