题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数都关于点(-
，f(-
))对称：
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=
x3-
x2-
，则g(
)+g(
)+g(
)+…+g(
)=-1006．
其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）．
①任意三次函数都关于点(-
| b |
| 3a |
| b |
| 3a |
②存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数g（x）=
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其中正确命题的序号为
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：新定义
分析：①根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心；
②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；
④由函数g（x）的对称中心是（
，-
），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（
）+…+g（
）的值．
②③利用三次函数对称中心的定义和性质进行判断；
④由函数g（x）的对称中心是（
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解答：
解：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-
）+2b=0，
∴任意三次函数都关于点（-
，f（-
））对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g′（x）=x2-x，g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0，可得x=
，∴g（
）=-
，
∴g（x）=
x3-
x2-
的对称中心为（
，-
），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（
）+g（
）+…+g（
）=-1×1006=-1006，故④正确．
故答案为：①②④．
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-
| b |
| 3a |
∴任意三次函数都关于点（-
| b |
| 3a |
| b |
| 3a |
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g′（x）=x2-x，g″（x）=2x-1，
令g″（x）=0，可得x=
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∴g（x）=
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∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（
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故答案为：①②④．
点评：本小题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
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