Question

已知递增等比数列{a_n}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列．
（1）求{a_n}的首项和公比；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，求S_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意利用等比数列的性质，可得a₅³=512，解出a₅=8．设公比为q，得a₃=

8

q2

且a₇=8q²，由等差中项的定义建立关于q的方程，解出q的值，进而可得{a_n}的首项；
（2）由（1）得a_n=a₁•q^n-1=(

2

)n+1，从而得到a_n²=[(

2

)n+1]²=2ⁿ⁺¹，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求S_n的表达式．

解答： 解：（1）根据等比数列的性质，可得a₃•a₅•a₇=a₅³=512，解之得a₅=8．
设数列{a_n}的公比为q，则a₃=

8

q2

，a₇=8q²，
由题设可得（

8

q2

-1）+（8q²-9）=2（8-3）=10
解之得q²=2或

1

2

．
∵{a_n}是递增数列，可得q＞1，∴q²=2，得q=

2

．
因此a₅=a₁q⁴=4a₁=8，解得a₁=2；
（2）由（1）得{a_n}的通项公式为a_n=a₁•q^n-1=2×(

2

)n-1=(

2

)n+1，
∴a_n²=[(

2

)n+1]²=2ⁿ⁺¹，
可得{a_n²}是以4为首项，公比等于2的等比数列．
因此S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．

点评：本题给出等比数列的满足的条件，求它的通项公式并求{a_n²}的前n项之和．着重考查了等比数列的通项与性质、等差中项的定义和等比数列的前n项之和公式等知识，属于中档题．