Question

已知椭圆G：

x2

4

+y2=1，过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线L交椭圆G于A，B两点．
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）求m的取值范围；
（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,两点间的距离公式,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆G：

x2

4

+y2=1，可得a²=4，b²=1，利用c=

a2-b2

即可得出椭圆的焦点坐标为(±

3

，0)，e=

c

a

．．
（2）由题意可知：|m|≥1．当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（x-m）．利用直线L与圆x²+y²=1相切可得圆心（0，0）到直线的距离d=r，可得k²m²=1+k²．（*）直线L的方程与椭圆的方程联立，化为（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，由于直线L与椭圆由两个不同的交点，可得△＞0，即可得到m的取值范围．
（3）当m±1时，直接得出|AB|．当m≠±1时，由（1）可得x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．利用弦长公式|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：（1）由椭圆G：

x2

4

+y2=1，可得a²=4，b²=1，∴c=

a2-b2

=

3

，∴椭圆的焦点坐标为(±

3

，0)，e=

c

a

=

3

2

．
（2）由题意可知：|m|≥1．
当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（x-m）．
∵直线L与圆x²+y²=1相切，∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴

|km|

1+k2

=1，化为k²m²=1+k²．（*）
直线L的方程与椭圆的方程联立

y=k(x-m) x2 4 +y2=1

，化为（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
∵直线L与椭圆由两个不同的交点，∴△＞0，即64k⁴m²-16（1+4k²）（k²m²-1）＞0，
化为1+4k²＞k²m²，
把（*）代入上式可得1+

4

m2-1

＞

m2

m2-1

，化为m²-1＞0．解得m＞1或m＜-1．
当m=±1时，直接验证满足题意．
综上可知：m的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）．
（3）当m=1时，切线L的方程为x=1，联立

x=1 x2 4 +y2=1

，解得

x=1 y=± 3 2

，|AB|=

3

．
同理m=-1时，|AB|=

3

．
当m≠±1时，由（2）可得x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2．由基本不等式可知当且仅当m=±

3

时取等号．
综上可知：|AB|的最大值为2．

点评：本题综合考查了直线与圆相切、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、弦长公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力，属于难题．