Question

10．设方程e^x+x=a的解为x₁，方程lnx+x=a的解为x₂，则|x₁-x₂|的最小值为1．

Answer 1

分析 此题要求的虽然是绝对值的最小值，但是通过观察发现两个方程都是非μ常规的我们不会解的方程类型，所以我们换个思路，运用函数的思想来解决方程的有关问题．将方程的解x₁看作是函数${y}_{1}={e}^{x}$与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；将方程的解x₂看作是函数y₂=lnx与函数y₀=a-x交点坐标值得横坐标；由于函数y₁，y₂互为反函数，均与直线y₀有交点，所以两个交点关于直线y=x对称，所以${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，|x₁-x₂|=$|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|$，可看作是函数${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的绝对值，此时问题变为求函数绝对值的最小值，又因为其为非常规函数，所以应用导数的方法求解．

解答 解：方程e^x+x=a的解x₁可以看作是函数${y}_{1}={e}^{x}$与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；
方程lnx+x=a的解x₂可以看作是函数y₂=lnx与函数y₀=a-x交点坐标的横坐标值；
∵函数y₁，y₂互为反函数，且均与函数y₀有交点，
∴两个交点关于直线y=x对称，∴${x}_{2}={e}^{{x}_{1}}$，
∴${x}_{2}-{x}_{1}={e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}$，
构造函数${g}_{（x）}={e}^{x}-x$，则丨x₁-x₂丨的最小值可以看作函数丨g_（x）丨的最小值；
我们用导数的方法一研究其何时取得最小值；
∴函数${g}_{（x）}={e}^{x}-x$的导数${{g}^{′}}_{（x）}={e}^{x}-1$，则g′_（x）=0的解为x=0；
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}|=|{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}|=|{g}_{（x）}|$，故其最小值为1；
故答案为：1．

点评 这道题充分利用了函数的性质，互逆函数间的对称关系，并利用导数的方法研究函数的最值问题．难点在于将方程的解变成是函数的交点，并采用构造函数的方法研究最值问题．