Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx-3，y=f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2-x）=f′（x）；f′（x）=0有解，但解却不是函数f（x）的极值点．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x

f′(x)

，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数与极值的关系求得解析式；
（2）化为二次函数利用二次函数的单调性对m进行讨论求得最值；
（3）利用不等式恒成立的条件，把恒成立问题转化为求函数最值问题解决．

解答： 解：（1）f'（x）=x²+2bx+c，
∵f'（2-x）=f'（x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，b=-1．…（2分）
由题意，f'（x）=x²-2x+c=0中△=4-4c=0，故c=1．…（3分）
所以 f(x)=

1

3

x3-x2+x-3．…（4分）
（2）∵f'（x）=x²+2bx+c=（x-1）²，
∴g（x）=x|x-1|=

x2-x   x≥1 x-x2     x＜1

，
当0＜m≤

1

2

时，g（x）_max=g（m）=m-m²-----------------5分
当

1

2

＜m≤

1+ 2

2

时，g（x）_max=g（

1

2

）=

1

4

，-------------7分
当m＞

1+ 2

2

时，g（x）_max=g（m）=m²-m，---------------8分
综上，g（x）_max=

m-m2(0＜m≤ 1 2 ) 1 4 ( 1 2 ＜m≤ 1+ 2 2 ) m2-m(m＞ 1+ 2 2 )

-------------9分
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
当x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）
此时不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立-------------11分
则有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，-----------------------13分
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
则有-1＜t＜0------------------------------15分
∴t的取值范围是（-1，0）．-------------------16分

点评：考查学生会利用导数求极值，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．
掌握不等式恒成立时所取的条件．考查学生分类讨论思想、划归思想等运用．