Question

已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），求证：f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D，那么f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件吗？证明你的结论．

Answer 1

考点：反证法,指数函数综合题,对数函数图象与性质的综合应用,反证法的应用

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）根据函数封闭的定义封闭求出两个函数的值域即可判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）根据封闭的定义，结合充要条件即可证明f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）利用反证法即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x＞1时，f（x）=2^x∈（2，+∞），f（x）在（1，+∞）上封闭，
g（x）=log₂x∈（0，+∞），g（x）在（1，+∞）上不封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），
任取x∈D，∵f₁（x）在D上封闭，∴f₂（x）=f（f₁（x））∈D，
…
f_n（x）=f（f_n-1（x）））∈D，
∴f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）是必要条件．（反证法）
假设f_n（x）在D上不封闭，即存在x₀∈D，使得f（x₀）∉D，
那么f₂（x₀）=f（f₁（x₀））无意义，这与f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D矛盾，
故假设不成立，
即f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件．

点评：本题主要考查函数值域的求法，以及与函数有关的新定义，利用反证法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．