Question

2．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ） 写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得曲线C的标准方程，直线l经过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{6}$，即可得出直线l的参数方程；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，进一步得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系消去参数θ，
可得曲线C的标准方程为：（x-1）²+（y-2）²=16，
直线l经过定点P（3，5），倾斜角为$\frac{π}{6}$，可得：
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆的方程可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，
设t₁，t₂是方程的两个根，则t₁t₂=-3，
∴|PA||PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．