Question

已知圆C：x²-2x+y²=8与直线l：y=kx+3．
（1）当直线l与圆C相切时，求k的值；
（2）当k=2时，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

考点：圆的切线方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线l与圆C相切时的等价条件，即可求k的值；
（2）当k=2时，求出圆心到直线的距离，结合直线的弦长公式即可求直线l被圆C截得的弦长．

解答： 解：（1）圆的标准方程为（x-1）²+y²=9，
则圆心C的坐标为（1，0），半径R=3，
当直线l与圆C相切时，
圆心到直线的距离d=

|k+3|

1+k2

=3，
即|k+3|=3

1+k2

，
平方得4k²-3k=0，
解得k=0或k=

3

4

；
（2）当k=2时，直线l的方程为y=2x+3，即2x-y+3=0，
则圆心到直线的距离d=

|2+3|

1+22

=

5

5

=

5

，
则直线被圆C截得的弦长为2

R2-d2

=2

9-5

=2

4

=2×2=4．

点评：本题主要考查直线和圆相切的位置关系的应用，以及直线和圆相交时的弦长的计算，根据相应的等价条件是解决本题的关键．