Question

已知圆C：x²+y²-2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x-4y-15=0．
（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相交弦所在直线的方程,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相交的弦长公式即可求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）求出两圆的公共弦结合直线平行的条件即可求出直线l；
（3）根据两点间的距离公式结合弦长关系即可得到结论．

解答： 解：（1）因为圆C1：x2+y2=25的圆心O（0，0），半径r=5，
所以，圆心O到直线l：3x-4y-15=0的距离d：d=

|3×0-4×0-15|

32+42

=3，由勾股定理可知，
圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长为2

r2-d2

=2

25-9

=8．…（4分）
（2）圆C与圆C₁的公共弦方程为2x-4my-4m²-25=0，
因为该公共弦平行于直线3x-4y-15=0，
则

2

3

=

-4m

-4

≠

-25

-5

，
解得：m=

2

3

…（7分）
经检验m=

2

3

符合题意，故所求m=

2

3

；    …（8分）
（3）假设这样实数m存在．
设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|
所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上． …（10分）
设以弦AB为直径的圆方程为：x²+y²-2x+4my+4m²+λ（3x-4y-15）=0，
则

22-2×2+4m2+λ(3×2-15)=0 3× 2-3λ 2 -4× 4λ-4m 2 -15=0

⇒

4m2-9λ=0 16m-25λ-24=0

消去λ得：100m²-144m+216=0，25m²-36m+54=0
因为△=36²-4×25×54=36（36-25×6）＜0
所以方程25m²-36m+54=0无实数根，
所以，假设不成立，即这样的圆不存在．         …（14分）

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．