Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在单位圆O上，且∠AOB=θ，且θ是钝角，sin（θ+

π

4

）=

3

5

，则x₁x₂+y₁y₂=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,任意角的三角函数的定义

专题：直线与圆

分析：根据向量数量积的坐标公式将条件进行转化，结合两角和差的余弦公式进行求解即可．

解答： 解：∵点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在单位圆O上，且∠AOB=θ，且θ是钝角，
∴

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=|

OA

|•|

OB

|cosθ=cosθ，
∵θ是钝角，∴

π

2

＜θ＜π，
则

3π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
则cos（θ+

π

4

）＜0，即cos（θ+

π

4

）=-

4

5

，
则cosθ=cos（θ+

π

4

-

π

4

）=cos（θ+

π

4

）cos

π

4

+sin（θ+

π

4

）sin

π

4

=-

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=-

2

10

，
即x₁x₂+y₁y₂=-

2

10

，
故答案为：-

2

10

点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，根据向量数量积的定义和坐标公式是解决本题的关键．