题目内容
6．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则a2017=2017•2-2014．分析 a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，求出首项与第二项可得nSn+（n+2）an=4n．即nSn+（n+2）an=4n．Sn=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
解答 解：∵a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，
∴首项为：1×1+3×1=4，第二项为：2×（1+1）+4×1=8，
公差为8-4=4．
∴nSn+（n+2）an=4+4（n-1）=4n．
即nSn+（n+2）an=4n．
∴Sn=4-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
n≥2时，Sn-1=4-$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$，
∴an=Sn-Sn-1=$\frac{n+1}{n-1}{a}_{n-1}$-$\frac{n+2}{n}{a}_{n}$，
化为：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$，首项为4．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=23-n．
∴an=n•23-n．
则a2017=2017•2-2014．
故答案为：2017•2-2014．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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