题目内容
9．双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．分析 由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=$\sqrt{5}$a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形
AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．
解答 解：由于双曲线的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与直线x+2y+1=0垂直，
则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|-|F2A|=2a，
解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，
又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF2F1=$\frac{4{a}^{2}+4×5{a}^{2}-16{a}^{2}}{2×2a×2\sqrt{5}a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查两直线的垂直的条件及余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
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1．函数f（x）满足对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），且当x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-x}}＞0$都成立，则下列结论正确的是（ ）
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