Question

5．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x-1）=f（x+1）=f（1-x），当x∈[2，3]时，f（x）=-2（x-3）²+4，求当x∈[1，2]时，f（x）的表达式．

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）是周期为2的周期函数，且函数f（x）的图象关于直线x=1对称，由当x∈[2，3]时，f（x）=-2（x-3）²+4，根据函数图象的平移变换和对称变换法则，可得当x∈[1，2]时f（x）的表达式．

解答 解：∵f（x-1）=f（x+1），
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵f（x+1）=f（1-x），
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
∵当x∈[2，3]时，f（x）=-2（x-3）²+4，
∴当x∈[0，1]时，f（x）=-2（x+2-3）²+4=-2（x-1）²+4，
当x∈[1，2]时，f（x）=-2[（2-x）-1]²+4=-2x²+4x+2．

点评 本题考查的知识点是函数图象的对称性，周期性，函数图象的对称变换和平移变换，难度中档．