Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜0\\（a-3）x+4a，x≥0\end{array}$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立，则实数a的取值范围是$（0，\frac{1}{4}]$．

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．

解答 解：∵f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0成立
∴函数f（x）在定义域上为减函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a-3＜0}\\{{a}^{0}≥4a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a＜3}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，得0＜a≤$\frac{1}{4}$，
故答案为：$（0，\frac{1}{4}]$

点评 本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．