Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=

3

2

a_n+n-3．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1），若不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

log2m

12

对任意n∈N^*都成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=4，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1+1，由此能证明数列{a_n-1}是以a₁-1=3为首项，公比为3的等比数列，从而能求出an=3n+1．
（2）由c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1）=n（n+2），从而

1

cn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），由此利用裂项求和法结合已知条件能求出m的最大值．

解答： （1）证明：当n=1时，S₁=a₁=

3

2

a₁+1-3，解得a₁=4，
当n≥2时，由S_n=

3

2

a_n+n-3，得S_n-1=

3

2

a_n-1+n-4．
 两式相减，得a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1+1，
即a_n=3a_n-1-2，则a_n-1=3（a_n-1-1），
故数列{a_n-1}是以a₁-1=3为首项，公比为3的等比数列．
∴a_n-1=3ⁿ，
∴an=3n+1．
（2）解：c_n=n+log

3

(a1-1)+log

3

（a₂-1）+…+log

3

（a_n-1）
=n+2+4+…+2n
=n+n（n+1）
=n（n+2），
∴

1

cn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

，
∵不等式

1

c1

+

1

c2

+…+

1

cn

≥

log2m

12

对任意n∈N^*都成立，
∴

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

≥

log2m

12

，
∴log₂m≤9-

12n+18

(n+1)(n+2)

＜9，
∴m＜2⁹=512，
∵m∈N^*，∴m的最大值为511．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．