题目内容
设i是虚数单位，已知复数z1=2cosα-2isinα，z2=3cosβ+3isinβ，|z1-z2|=
．
（Ⅰ）求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）若0＜α，β＜
，且sinβ=
，求sinα的值．
| 5 |
（Ⅰ）求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）若0＜α，β＜
| π |
| 2 |
| ||
| 5 |
考点：复数求模,三角函数中的恒等变换应用
专题：数系的扩充和复数
分析：（Ⅰ）首先，根据已知条件，得到z1-z2=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i，然后，结合复数的模的计算公式，建立等式求解即可；
（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ），求解得到sin（α+β）=
，然后，根据sinα=sin[（α+β）-β]，进行求解即可．
（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ），求解得到sin（α+β）=
| ||
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵z1=2cosα-2isinα，z2=3cosβ+3isinβ，
∴z1-z2=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i
∴|z1-z2|=
，
=
=
，
两边平方，得cos（α+β）=
，
∴cos（α+β）的值
；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得cos（α+β）=
．
又∵0＜α，β＜
，
∴sin（α+β）=
=
，
又∵sinβ=
，
∴cosβ=
=
，
∴sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=
×
-
×
=
．
∴sinα的值
．
∴z1-z2=（2cosα-3cosβ）-（2sinα+3sinβ）i
∴|z1-z2|=
| (2cosα-3cosβ)2+(2sinα+3sinβ)2 |
=
| 13-12cos(α+β) |
| 5 |
两边平方，得cos（α+β）=
| 2 |
| 3 |
∴cos（α+β）的值
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得cos（α+β）=
| 2 |
| 3 |
又∵0＜α，β＜
| π |
| 2 |
∴sin（α+β）=
| 1-cos(α+β)2 |
| ||
| 3 |
又∵sinβ=
| ||
| 5 |
∴cosβ=
| 1-sin2β |
2
| ||
| 5 |
∴sinα=sin[（α+β）-β]
=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=
| ||
| 3 |
2
| ||
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 5 |
=
10-2
| ||
| 15 |
∴sinα的值
10-2
| ||
| 15 |
点评：本题重点考查了复数的坐标运算、复数的模的运算、三角恒等变换、三角公式等知识，属于中档题，解题关键是正确运用和理解复数的模的计算公式，其次，需要注意角度的灵活拆分，这是高考的热点也是难点问题．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∩B=（ ）
| A、[3，4） |
| B、（3，4） |
| C、[2，3] |
| D、[2，4） |
记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式an2+
≥ma12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（ ）
| Sn2 |
| n2 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|