题目内容
（2x+4）2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012，则a0+a2+a4+…+a2012被3除的余数是 ．
考点：二项式定理的应用,二项式系数的性质
专题：二项式定理
分析：分别给二项式中的x赋值1，-1，两式相加求出a0+a1+a2+…+a2010，将22009写成（3-1）2009，利用二项式定理求出其展开式，由展开式的形式判断出被3除的余数．
解答：
解：令x=1得62010=a0+a1+a2+…+a2010，
令x=-1得22010=a0-a1+a2-a3+…+a2010，
两式相加得a0+a2+a4+…+a2010=
(62010+22010)=22009•32010+22009，
∵22009=（3-1）2009=C2009032009+C2009132008（-1）+…+C2009200831（-1）2008+C20092009（-1）2009，
∴22009被3除的余数的是2，
∴22009•32010+22009被3除的余数是2，
即a0+a1+a2+…+a2010被3除的余数是2．
故答案为：2．
令x=-1得22010=a0-a1+a2-a3+…+a2010，
两式相加得a0+a2+a4+…+a2010=
| 1 |
| 2 |
∵22009=（3-1）2009=C2009032009+C2009132008（-1）+…+C2009200831（-1）2008+C20092009（-1）2009，
∴22009被3除的余数的是2，
∴22009•32010+22009被3除的余数是2，
即a0+a1+a2+…+a2010被3除的余数是2．
故答案为：2．
点评：本题考查通过赋值法求展开式的系数和、利用二项式定理的展开式求余数问题．
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口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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