题目内容
已知函数f（x），（x∈R+），满足f（3x）=3f（x）．若f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），试计算：
（1）f（99）= ；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是 ．
（1）f（99）=
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是
考点：函数的值,集合的表示法,抽象函数及其应用
专题：计算题
分析：（1）由f（3x）=3f（x）将f（99）递推下去，代入解析式求值；
（2）根据题意，求出当3≤x≤9时的表达式，同理求出当9≤x≤27时、当27≤x≤81时和当81≤x≤243时的表达式，然后解方程f（x）=18，即可得到集合M中最小的元素．
（2）根据题意，求出当3≤x≤9时的表达式，同理求出当9≤x≤27时、当27≤x≤81时和当81≤x≤243时的表达式，然后解方程f（x）=18，即可得到集合M中最小的元素．
解答：
解：（1）根据题意：f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），
所以f（99）=3f（33）=32f（11）=33f（
）=34f（
）=34（1-|
-2|）=18；
（2）由题意得，当3≤x≤9时，f（x）=3f（
）=3-|x-6|；
当9≤x≤27时，f（
）=3-|3•
-6|=3-|x-6|，此时f（x）=3f（
）=9-|3x-18|；
当27≤x≤81时，f（
）=9-|3•
-18|=9-|x-18|，此时f（x）=3f（
）=27-|3x-54|；
当81≤x≤243时，f（
）=27-|3•
-54|=27-|x-54|，此时f（x）=3f（
）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=18，
接下来解方程f（x）=18：
当81≤x≤243时，81-|3x-162|=18，得3x-162=±63，所以x=75或33（舍去）；
当27≤x≤81时，27-|3x-54|=18，得3x-54=±81，所以x=45（舍负）；
当9≤x≤27时，9-|3x-18|=18，找不到符合条件的x；
当3≤x≤9时，3-|3x-6|=18，找不到符合条件的x；
当1≤x≤3时，1-|x-2|=18，找不到符合条件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45，
故答案为：（1）18；（2）45．
所以f（99）=3f（33）=32f（11）=33f（
| 11 |
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（2）由题意得，当3≤x≤9时，f（x）=3f（
| x |
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当9≤x≤27时，f（
| x |
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当27≤x≤81时，f（
| x |
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当81≤x≤243时，f（
| x |
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由此可得f（99）=18，
接下来解方程f（x）=18：
当81≤x≤243时，81-|3x-162|=18，得3x-162=±63，所以x=75或33（舍去）；
当27≤x≤81时，27-|3x-54|=18，得3x-54=±81，所以x=45（舍负）；
当9≤x≤27时，9-|3x-18|=18，找不到符合条件的x；
当3≤x≤9时，3-|3x-6|=18，找不到符合条件的x；
当1≤x≤3时，1-|x-2|=18，找不到符合条件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45，
故答案为：（1）18；（2）45．
点评：本题是分段函数问题，要严格按照题目要求转化为已知的问题去解决，考查讨论方程的最小正数解，函数的定义和方程根的分布等知识．
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