Question

试用定义讨论并证明函数f（x）=

ax+1

x+2

（a≠

1

2

）在（-∞，-2）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：先将f（x）变成：f（x）=a+

1-2a

x+2

，根据单调性的定义，设x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂，通过作差并讨论a的取值即可判断f（x₁），f（x₂）的大小，从而判断f（x）在（-∞，-2）上的单调性．

解答： 解：f（x）=

a(x+2)+1-2a

x+2

=a+

1-2a

x+2

；
设x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
f(x1)-f(x2)=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

(x1+2)(x2+2)

；
∵x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂；
∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0；
∴若1-2a＜0，即a＞

1

2

时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-∞，-2）上单调递增；
若1-2a＞0，即a＜

1

2

时，f（x₁）＞f（x₂），∴此时f（x）在（-∞，-2）上单调递减．

点评：考查分离常数法化简f（x），以及函数的单调性定义，根据函数单调性定义讨论f（x）单调性的过程．