Question

对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=

a，若a≤b b，若a＞b

，则函数f（x）=log

1

2

（3x-2）*log₂x的值域为（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考点：函数的值域,对数值大小的比较

专题：函数的性质及应用

分析：首先求出函数f（x）的定义域，然后由log

1

2

（3x-2）≤log₂x求得x的范围，然后写出分段函数解析式f（x）=

log 1 2 (3x-2)，x≥1 log2x， 2 3 ＜x＜1

．分别求值域后取并集得答案．

解答： 解：函数f（x）=log

1

2

（3x-2）*log₂x的定义域为{x|x＞

2

3

}，
由log

1

2

（3x-2）≤log₂x，得-log₂（3x-2）≤log₂x，即log₂x（3x-2）≥0，
∴3x²-2x-1≥0，解得：x≤-

1

3

或x≥1．
∵函数的定义域为{x|x＞

2

3

}，∴x≥1．
则当

2

3

＜x＜1时，log

1

2

（3x-2）＞log₂x．
∴f（x）=log

1

2

（3x-2）*log₂x=

log 1 2 (3x-2)，x≥1 log2x， 2 3 ＜x＜1

．
当x≥1时，f（x）=log

1

2

(3x-2)≤log

1

2

1=0；
当

2

3

＜x＜1时，f（x）=log2x∈(log2

2

3

，0)．
∴函数f（x）=log

1

2

（3x-2）*log₂x的值域为（-∞，0]．
故选：C．

点评：本题考查了分段函数的值域，考查了对数不等式的解法，关键是对题意的正确理解，是中档题．