Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2=2a_n+1-a_n，（n∈N^*）
（1）求a₂、a₃，并求数列{a_n}的通项公式；（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n；
（3）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，（n∈N^*），是否存在最大的；
正整数m，使得对任意n∈N^*均有T_n＞

m

32

成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+2=2an+1-an，(n∈N*)知数列{a_n}为等差数列，由此能求出a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．
（2）由a_n=10-2n≥0，解得n≤5．由此能求出S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
（3）利用列裂求和法能求出Tn+1-Tn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+1)(n+2)

＞0，由此能求出适合条件的m的最大值．

解答： （本小题共14分）
解：（1）a₂=6，a₃=4
由an+2=2an+1-an，(n∈N*)知数列{a_n}为等差数列，
设其公差为d，则d=

a4-a1

4-1

=-2．
故a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．…（4分）
（2）由a_n=10-2n≥0，解得n≤5．故
当n≤5时S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=9n-n²
…（6分）
当n＞5时S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=n2-9n+40
 

(3)由于bn= 1 n(12-an) = 1 n(2n+2) = 1 2 ( 1 n - 1 n+1 ) ∴Tn=b1+b2+…+bn= 1 2 [(1- 1 2 )+( 1 2 - 1 3 )+…+( 1 n - 1 n+1 )] = 1 2 (1- 1 n+1 )= n 2(n+1)

…（12分）
从而Tn+1-Tn=

n+1

2(n+2)

-

n

2(n+1)

=

1

2(n+1)(n+2)

＞0
故数列T_n是单调递增数列，又因T1=

1

4

是数列中的最小项，
要使Tn＞

m

32

恒成立，故只需

m

32

＜T1=

1

4

成立即可，
由此解得m＜8，由于m∈Z^*，
故适合条件的m的最大值为7．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查适合条件的m的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．