Question

若定义域在[0，1]的函数f（x）满足：
①对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
②f（0）=0；
③f(

x

3

)=

1

2

f（x）；
④f（1-x）+f（x）=-1，
则f(

1

3

)+f(

9

2014

)=（　　）

• A、-

  9

  16

• B、-

  17

  32

• C、-

  174

  343

• D、-

  512

  1007

Answer 1

考点：函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意给出的四个性质可推出在[

1

3

，

1

2

]上，f（x）≡-

1

2

；从而求出f(

1

3

)+f(

9

2014

)的值．

解答： 解：∵f（1-x）+f（x）=-1，令x=0；
∴f（1）+f（0）=-1，又∵f（0）=0；
∴f（1）=-1；
令x=

1

2

可得，2f（

1

2

）=-1，∴f（

1

2

）=-

1

2

；
在f(

x

3

)=

1

2

f（x）中令x=1，
则f（

1

3

）=

1

2

f（1）=-

1

2

，
又∵对于任意x₁，x₂∈[0，1]，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≥f（x₂）；
∴在[

1

3

，

1

2

]上，f（x）≡-

1

2

．
f（

9

2014

）=

1

2

•f（

27

2014

）=(

1

2

)2f（

81

2014

）
=（

1

2

）³•f（

243

2014

）=（

1

2

）⁴•f（

729

2014

），
=-

1

32

．
故f(

1

3

)+f(

9

2014

)=-

1

2

-

1

32

=-

17

32

；
故选B．

点评：本题考查了学生对新知识的接受与应用能力，属于中档题．