Question

3．定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为7．

Answer 1

分析 先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化简f（x）＜g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3）时，从而得出f（x）＜g（x）在0≤x≤k时的解集的长度，依题意即可求得k的值．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1，
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，
∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，
∴x∈∅；
当x∈[2，3）时，[x]=2，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1=3，
∴当x∈[0，3）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=3-2=1；
同理可得，当x∈[3，4）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=4-2=2；
∵不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，
∴k-2=5，
∴k=7．
故答案为：7．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题．