Question

12．已知函数f（x）=x²+1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用定义法证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），从而得到函数f（x）是R上的偶函数．
（2）在（0，+∞）上任意选取x₁，x₂，且x₁＜x₂，推导出f（x₁）-f（x₂）＜0，由此能证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+1，
∴f（x）的定义域为R，
∵f（-x）=（-x）²+1=x²+1=f（x），
∴函数f（x）是R上的偶函数．
证明：（2）在（0，+∞）上任意选取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．