Question

8．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，左焦点到左顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M（1，1）的直线与椭圆C相交于A，B两点，且点M为弦AB中点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，左焦点到左顶点的距离为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点M（1，1）为弦AB中点，利用点差法能求出直线AB的方程．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{1}}$=1（a＞b＞0），半焦距为c．
依题意e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
由左焦点到左顶点的距离为1，得a-c=1．
解得c=1，a=2．∴b²=a²-c²=3．
所以椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点M（1，1）为弦AB中点，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直线AB的方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），整理，得：3x+4y-7=0．
∴直线AB的方程为：3x+4y-7=0．

点评 本题考查椭圆方程和直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和点差法的合理运用．