Question

已知椭圆C的一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2：

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，记|

MP

|的最小值为f（m）若关于实数m的方程f（m）-2t=0有解，请求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意得

a2=b2+c2 a b = 2 3 c=2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，由|

MP

|2=（x-m）²+y²=

1

4

(x-4m)2+12-3m²，由此能求出|

MP

|的最小值实数t的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题意，得

a2=b2+c2 a b = 2 3 c=2

，
解得a²=16，b²=12．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，∴-4≤x≤4，
∵

MP

=(x-m，y)，
∴|

MP

|2=（x-m）²+y²=（x-m）²+12×（1-

x2

16

）
=

1

4

x2-2mx+m2+12
=

1

4

(x-4m)2+12-3m²，
∵

-4≤m≤4 -4≤x≤4

，
∴|

MP

|的最小值f（m）=

m+4，-4≤m＜1 12-3m2 ，-1≤m≤1 4-m，1＜m≤4

，
∴f（m）的值域为[0，2

3

]，
又由f（m）-2t=0，得2t=f（m），
∴0≤2t≤2

3

，
故实数t的取值范围为[0，

3

]．

点评：本题考查椭圆方程的标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．