Question

3．若点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）同时满足一下两个条件：
（1）点A、B都在函数y=f（x）上；
（2）点A、B关于原点对称；
则称点对（（x₁，y₁），（x₂，y₂））是函数f（x）的一个“姐妹点对”．
已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-4\;\;\;\;（{x≥0}）\\{x^2}-2x\;\;（{x＜0}）\;\end{array}\right.$，则函数f（x）的“姐妹点对”是（1，-3），（-1，3）．

Answer 1

分析 设x₁＞0，则y₁=x₁-4，由“姐妹点对”的定义知x₂=-x₁，y₂=${{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}^{\;}$=-y₁=4-x₁，由此能求出函数f（x）的“姐妹点对”．

解答 解：设x₁＞0，则y₁=x₁-4，
∵点对（（x₁，y₁），（x₂，y₂））是函数f（x）的一个“姐妹点对”，
∴x₂=-x₁，y₂=（-x₁）²-2（-x₁）=${{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}^{\;}$=-y₁=4-x₁，
∴${{x}_{1}}^{2}+3{x}_{1}-4=0$，
解得x₁=1或x₁=-4（舍），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的“姐妹点对”是（1，-3），（-1，3）．
故答案为：（1，-3），（-1，3）．

点评 本题考查函数的“姐妹点对”的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．