Question

18．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域为[-2，+∞），则实数a的取值范围为[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

Answer 1

分析 当x≥2时，f（x）=-6+2^x≥-2．当x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，由此利用分尖讨论思想能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+3\;\;\;\;\;\;x＜2\\-6+{2^x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≥2\end{array}\right.$的值域为[-2，+∞），
当x≥2时，f（x）=-6+2^x≥-2．
当x＜2，f（x）=x²-ax+3=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当$\frac{a}{2}$=2时，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a≤2$\sqrt{5}$，a=4∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]，故a=4成立；
当$\frac{a}{2}$＜2时，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得-2$\sqrt{5}$≤a＜4．
当$\frac{a}{2}$＞2时，f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥（2-$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥-2，
解得4＜a$≤\frac{9}{2}$．
综上所述，实数a的取值范围是[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．
故答案为：[-2$\sqrt{5}$，$\frac{9}{2}$]．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．