Question

设非零向量

x

，

y

，

z

，满足|

x

+

y

|=|

x

-

y

|，且|

x

|=|

y

|=|

x

+

y

+

z

|=1，则|

x • z

| x |

|的取值范围是（　　）

• A、[0，2]
• B、[1-

  2

  2

  ，1+

  2

  2

  ]
• C、[0，

  2

  ]
• D、[1，2]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：首先，根据|

x

+

y

|=|

x

-

y

|，得到

x

•

y

=0，然后，引入坐标运算，最后结合几何意义进行求解．

解答： 解：∵|

x

+

y

|=|

x

-

y

|，
∴两边平方，得

x

2+2

x

•

y

+

y

2=

x

2-2

x

•

y

+

y

2，
∴

x

•

y

=0，
∵|

x

|=|

y

|=1，
∴设

x

=(1，0)  ，

y

=(0，1)，

z

=(m，n)
∴

x

+

y

=(1，1)，
∵|

x

+

y

+

z

|=1，
∴（m+1）²+（n+1）²=1，
∴向量

z

的终点组成的轨迹是一个以（-1，-1）为圆心，以1为半径的圆，
设

x

与

z

的夹角为θ，
∴则|

x • z

| x |

|=|

z

||cosθ|，

z

cosθ的几何意义为：向量

z

在向量

x

方向上的投影，
其绝对值|

z

||cosθ|∈[0，2]，
∴|

x • z

| x |

|∈[0，2]．
故选：A．

点评：本题重点考查了向量的坐标表示及其运算、向量的基本运算法则等知识，属于中档题．