Question

设函数f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a²t²+at，则正实数a的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞2时，才会存在一一对应．

解答： 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；
f（x）=log₂x，（x＞0）时，其值域为R，
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，
要想f（f（x））=2a²t²+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为2a²t²+at＞0），
所以：f（x）＞2，
解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴2a²t²+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，
所以有：（2at-1）（at+1）＞0，
解得：t＞

1

2a

或者t＜-

1

a

（舍去），
∴

1

2a

≤1，
∴a≥

1

2

，
故选：B

点评：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2a²t²+at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数．