Question

若3f（x-2012）+4f（2012-x）=5（x-2012）对所有实数x都成立，则f（x）的解析式为

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，设t=x-2012，原函数可化为3f（t）+4f（-t）=5t，判定f（t）为R上的奇函数，求出f（t）的解析式即为f（x）的解析式．

解答： 解：设t=x-2012，
则3f（x-2012）+4f（2012-x）=5（x-2012）可化为，
3f（t）+4f（-t）=5t…①，
再设t=-s，
则3f（-s）+4f（s）=-5s，
即-4f（s）-3f（-s）=5s，
改写为-4f（t）-3f（-t）=5t…②，
比较①、②，得：
3f（t）+4f（-t）=-4f（t）-3f（-t），
即f（t）=-f（-t），特别地f（0）=0，
∴f（t）为R上的奇函数；
由①得，
5t=3f（t）+4f（-t）=3f（t）-4f（t）=-f（t），
即f（t）=-5t，
∴f（x）=-5x．
故答案为：f（x）=-5x．

点评：本题考查了求函数解析式的问题，是易错题．